项目式教学法—以数学模型与数学实验课程为例

孙冬冬

1.1 项目式教学法

我国传统的教学方式强调“以知识为本位”，高校各专业的教学模式大都是由任课教师在课堂上向学生讲授完所有理论知识之后再进入实习阶段。这种教学模式容易使学生在课堂授课阶段缺乏对研究对象的感性认识，而感觉所学的理论知识抽象、难以理解，失去学习兴趣；待到实习阶段有机会对研究对象进行感性认识时， 又对理论知识忘记很多， 这种学、做分离的教学模式很难让学生在正确的理论指导下形成系统的综合技能， 很难在学习过程中调动学生的主动性、参与性和协作性，进而影响了学生专业技能的提高。

为提高学生的实践和创新能力，促进高等教育由传统的知识范式向新的能力范式转变，相应的教学方法也应与时俱进，不断更新。项目式教学法有别于传统教学法，它尝试通过实施一系列完整的教学项目，将理论和实践有机地结合，它以任务为导向进行教学活动， 以培养学生的专业技能为教学首要任务。与传统教学方式相比， 项目式教学法在教育理念、教学目标、教学环境、教学过程和教学手段等方面都发生了很大变化，主要表现在改变了传统的三个中心：由以教师为中心转变为以学生为中心，由以课本为中心转变为以“项目”为中心，由以课堂为中心转变为以实际经验为中心。所以，在运用项目教学法进行教学设计的时候，学生是认知的主体，是知识意义的主动建构者^[1]。

1.2 项目式教学法在数学模型与数学实验课程中的应用

1.2.1 数学模型与数学实验课程引入项目式教学的必要性

数学模型是为了某种目的，用字母、数字及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。当人们设计产品参数、规划交通网络、制定生产计划、控制工艺过程、预报经济增长、确定投资方案时，都需要将研究对象的内在规律用数学的语言和方法表述出来，并将求解得到的数量结果返回到实际对象的问题中去，这种解决问题的全过程就称为建立数学模型，简称数学建模。与数学建模紧密相连的是数学实验。对于一个数学家来说，在其研究过程中，实验或试验是其用以验证旧知、探求未知和获取新知的必不可少的手段。即便是一个普通人用数学解决问题，例如求高次方程的根时，也会先做试验，代一个数进去看看是否等于零。人们实际上早就认识到数学实验在解决各种实践问题中的必要性和重要性，问题在于手算太费时、繁琐甚至太困难，以致无法进行下去；而现在数学实验的手段( 计算机、数学软件) 大大发展了，它不仅为用数学方法解决更多的实际问题创造了良好的条件，也为加速数学本身的发展提供了更多的机会^[2]。

数学模型与数学实验课程的这些特点决定了这门课程应该以学生为中心，让学生成为课程的真正参与者与获得者；决定了这门课程应该以“项目”为中心，而不是简单地进行知识点的罗列和讲授；决定了这门课程应该以实际经验为中心，而不是以课堂为中心。数学模型与数学实验课程的上述要求正符合项目式教学的特征，所以在这门课程中引入项目式教学是必要的。

1.2.2 数学模型和数学实验课程项目式教学的具体实施

根据项目式教学的基本特点，在数学模型与数学实验课程的实际教学中，我们通常选择设计一个或几个贯穿数学建模课程的大型综合项目， 作为学生综合能力的主要载体。现以数学建模教学中的一个实际案例———地中海鲨鱼问题中食饵—捕食系统的数学模型，来探讨项目式教学的具体实施^[3]。

1、教学背景

地中海鲨鱼问题的提出：意大利生物学家D’Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究。从第一次世界大战期间地中海各港口捕获的几种鱼类捕获量百分比的资料中，发现鲨鱼等的比例有明显增加（见下表），而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降。显然战争使捕鱼量下降，食用鱼增加，鲨鱼等也随之增加，但为何鲨鱼的比例大幅增加呢？

他无法解释这个现象，于是求助于著名的意大利数学家V.Volterra，希望能建立一个食饵-捕食系统的数学模型，定量地回答这个问题。

项目式教学的关键是设计和制订一个项目的工作任务。其中地中海鲨鱼问题研究的是捕鱼量下降时，食用鱼和鲨鱼都随之增加， 但鲨鱼的比例却大幅增加的一个具有实际应用的问题，在这里这个案例的任务是：让学生学会用数学符号阐述食饵—捕食问题，会对问题进行适当的假设，理解鱼类种群相互制约关系模型，利用Matlab仿真得出以及验证实验结果，从而掌握微分方程建立模型的基本步骤与方法和Matlab的使用。要求学生学完该案例后对数学建模有一定程度的理解， 让学生学会如何将实际问题转换为数学问题，熟悉一些常用的数学模型和相对应的软件，具备一定的数学建模思想和创造意识，为进一步解决实际问题打下基础，在学习的过程中重点培养学生的观察力、分析力、想象力、创造能力，培养学生自律、沟通与团结协作能力，提高自学能力和论文写作能力。

2、教学过程

根据题目所给的说明告知学生课题目标和最终功能———以小组为单位完成建模论文(引入主题)。根据数学建模的原理， 说明该项目内容的重点和难点(可采用演示、讲授等方法)，使学生基本掌握和了解。

（1）准备阶段。由教师和学生共同完成。教师讲解与数学建模项目相关的知识；说明项目任务；引导学生小组分工合作，决定强弱搭配，将学生分为3人的工作小组；提出项目相关的要求和条件。学生学习与种群相互制约关系相关的知识，明确项目对象与要求，通过专业网站、学校图书馆等可以获取信息的地方查找相关资料， 对所给项目进行认真分析，提出自己的见解，并对可能存在的情况，进行适当地假设，然后小组讨论，尝试各种解决方案，最后确定最优的解决途径。

（2）计划阶段。主要由学生小组来组织完成。为了更加有效地解决问题，可以分工合作，把项目分为三个具体的工种：模型建立、数据处理、计算机仿真三个方面，每个人根据自己的长处选择某一方面进行深入的研究， 并相互之间进行有效的沟通和讨论。教师参与各组讨论，了解各组活动情况，帮助解决问题，协调组员分歧，渗透纪律、合作等方面的教育，在学生需要时提供必要的知识和技术辅导。

（3）实施阶段。通过前面的两个准备工作，已经对问题进行了大量的讨论，现在要做的是进入数学建模的实质部分，首先是针对模型中的一些符号进行必要的说明，比如食饵、捕食者在不同时间时的数量，食饵独立生存时的增长率，捕食者独自存在时的死亡率以及捕食者掠取食饵的能力，食饵对捕食者的供养能力等；其次，对问题进行必要的假设，并在所做的模型假设基础上建立适当的微分方程，得出准确的数学公式以及假设的初始条件；最后，根据数学公式选择合适的算法，在这里可以用MATLAB 编写R-K4 算法进行微分方程数值求解， 通过一些具体的分析步骤， 我们将可以对数据进行更好的分析，并对数值结果或模拟结果进行必要的检验，分析结果的正确性或合理性，最后完成一篇论文，从而完成项目任务。在这期间教师巡回指导，提供咨询、服务。

（4）评价阶段。项目评估是项目教学法的一个不可缺少的环节。应该根据不同的项目目的设计评估标准，做到客观公正地评价学生的学习过程和效果。由于学生在完成项目的过程中可能会出现各种各样的问题， 因此可以总结比较各小组的特点，使他们可以学习别人的长处，从而提高自己的各种能力。在这里，可以让各小组将他们的成果进行展示、分享，并派一名代表来讲解有关模型的内容和结果。展示完毕之后，把获奖作品打印出来展示到学校橱窗中，以增强学生的成就感；并结合小组内自查与小组间互查的方法进行评价，最后由教师总结点评。

（5）反馈阶段。由教师将培训效果反馈给每个学生，肯定成绩、提出缺点与不足，使他们思维方式向更切合客观现实的方向转化。教师将项目工作的结果归档，拓展相关理论知识和原理，及时提出下一课题的任务(又引入新的教学内容)。

3、参考样文

1. 问题重述

   意大利生物学家Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，他从第一次世界大战期间,地中海各港口捕获的几种鱼类捕获量百分比的资料中，发现鲨鱼等的比例有明显增加（见下表），而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降.显然战争使捕鱼量下降，食用鱼增加，鲨鱼等也随之增加，但为何鲨鱼的比例大幅增加呢？

    

他无法解释这个现象，于是求助于著名的意大利数学家V.Volterra，希望建立一个食饵—捕食系统的数学模型，定量地回答这个问题.

为了解释这一问题，通过建立一个食饵—捕食系统的数学模型，定量地回答这个问题，给出一个合理又具有说服力和可实际操作的的答案或方案！以供现实生产，捕捞的指导与借鉴！

1. 模型假设

   （1） 食饵由于不是者的存在使增长率降低，假设降低的程度与捕食者数量成正比；

   （2） 捕食者由于食饵为它提供食物作用使其死亡率降低或使之增长，假定增长的程度与食饵数量成正比；

2. 符号说明

1. 问题分析

   第一次世界大战期间,地中海各港口捕获的几种鱼类捕获量百分比的资料中，发现鲨鱼等的比例有明显增加，而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降.显然战争使捕鱼量下降，食用鱼增加，鲨鱼等也随之增加。战争结束后，因为渔民开始打渔，所以鱼类的黄金生长期开始受到威胁。虽然鱼类的繁殖和生长符合达尔文的自然选择学说，而且它不会肆意的疯长，但总会有天敌和种群内面的竞争而被淘汰一部分，而实现优胜略汰的目的，实现种群的优质成长和发展。

   战争使得捕鱼量下降，所以食饵与鲨鱼数量产生了变化，因此，我们进行数据分析与整理，对鲨鱼比例的明显变化现象给出合理的问题分析以及合理的问题解释。

2. 模型的建立与求解

   模型（一） 不考虑人工捕获

   该模型反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之间的制约关系，没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞作用，是Volterra提出的最简单的模型.

   设食饵者和捕食者的初始数量分别为：对于数据t的终值经试验后确定为15。针对一组具体的数据用matlab软件进行计算，使用matlab函数库中专门用于求解微分方程的功能函数——ode45，做出数值计算，求解方程。并画出食饵和捕食者随时间变化的关系图。

   图像如下：

与的曲线

相轨线x(t)的图形

两个关系图的简要说明：

对于图形“与的曲线”的解释：

对于食饵增多，则鲨鱼易于取食，所以鲨鱼数量增加；然而，由于鲨鱼数量的增多而需要食用更多的食饵，可是食饵的数量正在下降，则鲨鱼进入了饥饿的状态而使得鲨鱼的数量急剧下降，这时部分食饵得以存活，所以食饵数量回升；随着捕食者和被捕食者的关系，食饵与鲨鱼的数量交替增减，它们的数量进入无休止的循环，成为了生物圈中的动态平衡。

模型（二） 考虑人工捕获

设表示捕获能力的系数为e，相当于食饵的自然增长率由r1 降为r1-e，捕食者的死亡率由r2 增为 r2+e

仍取设战前捕获能力系数e=0.3, 战争中降为e=0.1, 则战前与战争中的模型分别为:

针对一组具体的数据用matlab软件进行计算，使用matlab函数库中专门用于求解微分方程的功能函数——ode45，做出数值计算，求解方程。

并画出战争中的鲨鱼与战争前的鲨鱼比例变化的图像。

图像如下：

对图像的简要分析:

观察上图可以明显得出，战争中的鲨鱼的曲线位于战争前鲨鱼曲线之上，即得出结论：战争中鲨鱼的比例比战前高！

1. 模型评价

2. 模型考虑的因素合理。本文模型针对战争前、战争期间鲨鱼（捕食者）与食用鱼（食饵）在自然条件和存在人工捕获条件两方面因素而建立的。

3. 模型约束的合理性。本文参考了不少文献，对鲨鱼（捕食者）与食用鱼（食饵）之间的关系以及鲨鱼（捕食者）自身在战争前、战争期间的关系作全面而准确的探讨，给出了一系列合理的约束。

4. 由于在收集数据方面所掌握的信息很不全，因此，模型的求解难免会有误差。

5. 对于所掌握的数据，在满足约束的条件下，采用matlab软件进行处理，对鲨鱼与食饵之间的关系以及鲨鱼自身在战争前、战争期间的关系进行预测。

6. 建立模型时，并没有考虑到所有影响鲨鱼与食饵之间的关系以及鲨鱼自身在战争前、战争期间的关系的因素，例如天气因素等等。

   由此模型我们可以知道两个相互竞争种群之间的矛盾与联系，了解他们的关系有利于人类进行打捞计划。

附   录

模型一：

%matlab m-文件

function dx= shayu_1( t,x )

a=1;b=0.1;

c=0.5;d=0.02;

dx=zeros(2,1);

dx(1)=x(1)*(a-b*x(2));

    %a is rate of increase£¬b is hunting ability.

dx(2)=x(2)*(-c+d*x(1));

    %c is mortality,d is support.

End

%matlab 脚本文件

clc;clear all

ts=0:0.1:15;

x0=[25,2];

[t,x]=ode45('shayu_1',ts,x0);

figure(1),plot(t,x(:,1),t,x(:,2),'*');

xlabel('time');ylabel('amount');

hold on

grid on

figure(2),plot(x(:,1),x(:,2),'r-');

xlabel('the food of amount');ylabel('the predator of amount');

grid on

模型二：

%matlab m-文件 shark1

function dx=shark1( t,x )

dx=zeros(2,1);

dx(1)=x(1)*(0.7-0.1*x(2));

dx(2)=x(2)*(-0.8+0.02*x(1));

end

%matlab m-文件 shark2

function dx=shark2( t,x )

dx=zeros(2,1);

dx(1)=x(1)*(0.9-0.1*x(2));

dx(2)=x(2)*(-0.6+0.02*x(1));

end

%matlab 脚本文件

clc;clear all

ts=0: 15;

x0=[25 2];

[t,x]=ode45('shark1',ts,x0);

plot(t,x(:,2)./(x(:,1)+x(:,2)),'r-')

title('人工捕获对鲨鱼比例的影响');

xlabel('时间(t)');ylabel('鲨鱼的比例');

grid on

hold on

[t,x]=ode45('shark2',ts,x0);

plot(t,x(:,2)./(x(:,1)+x(:,2)))

legend('prewar','combat');

1.2.3 数学模型和数学实验课程中进行项目式教学的实践分析

项目式教学法糅合了当前三大教学法（ 探究教学法、任务驱动教学法与案例教学法）的特点：项目教学法采取小组讨论、协作学习的方式，学生学习的过程就是一个探究的过程；项目式教学法通过工程项目作为教学的对象，是以实际的任务来驱动学生的学习；项目教学法采用了示范项目进行解题示范，通过案例说明问题。项目式教学法注重学生能力的培养，有利于促进高等教育由传统的知识范式向新的能力范式转变。但是项目式教学法又有其自身的特点，具体表现在如下四点：

1．教学的整个过程和所有内容以实际的工程项目来贯穿。教师依据教学内容选取工程项目，项目确定后，整个教学过程也就确定了，学生通过完成项目来达到对本课程教学内容的掌握，即意义的建构。

2．整个教学过程一般选取2～3个工程项目。一个由教师选取，作为教师对知识点进行讲解的实例，所选取的项目必须简单和典型，便于学生对知识的迁移；一个由学生（ 学习小组） 讨论选择，教师指导审定，由于此实例作为学生初始学习的例子，所以不能太复杂；另外一个项目是由教师和学生共同讨论选定，全班学生共同完成，所选项目的完成难度可以比较高。

3．学生学习的形式以小组为单位，采取协作学习方式。由每个小组负责完成自己所选定的小项目或班级大项目中的一个模块，小组成员在学习过程中探索或发现的信息和材料为全体组员所共享，甚至为全班所有成员所共享。

4．对学生学习评价以完成工程项目的情况为依据。具体分三级来考核：第一级是由教师对小组完成项目情况进行评定，第二级是由各小组成员根据各组员对本小组贡献的情况进行互评，第三级是由学生本人进行自评，综合三级评定情况来确定每一名学生的学习成绩。

通过多年的教学实践，我们发现在开展项目式教学法需要注意和解决一些问题，具体表现在下面五个方面：

1．重视项目的完成，但不能忽略基础知识的掌握。注意吸取传统教学法的长处，把总目标细分成一个个小目标，每个小目标体现在项目中的小模块上，从而让学生建构一个系统的、全面的知识框架。

2．强调了学生学习的主体性，并不能认为教师的任务就减轻了。其实教师的职责不但没有减轻，反而还加重了。因为教师不但要对任教科目融会贯通，随时回答各类学生提出的各种问题，而且还要为学生创设学习的情景、培养协作学习的气氛、审核项目的选取等。

3．学生分组是一个容易被忽视的环节。由于采取分组协作学习的方式，所以分组的原则、组员的搭配、工作的分工、成员的数量等等直接影响着组员的学习。实验证明，每组人数应控制在3～5人，人多“手脚乱”、意见不一；采取互补方式进行搭配，有利于同学之间互相学习；组员分工要明确，防止出现依赖思想。

4．由于采用自主学习方式，学生的个性化得到充分的发展，但还应当注意学生的两极分化。特别是个别后进生，他们的自学能力和自控能力都比较差，容易产生依赖思想，无所事事，所以要结合推行“一帮一”的措施，安排学习先进生对后进生给予及时的帮助和纠正。

5．教材是一个问题。由于现行的教材基本根据学科知识系统进行编写，教师实施项目式教学法时，不能够完全按照教材一章一节地讲授，所以要求教师在设计教学时，必须重点选好示范项目，紧密结合教材内容。可以把教材作为学习的“字典”，有条件的可以适当编写讲义，甚至编写教材。

综上所述，项目式教学法是在建构主义学习理论的影响下，通过选取“工程项目”来创设“情景”，通过“协作学习”的方式开展学习，通过完成“工程项目”来达到“意义建构”，是一种比较有效的教学方法。它突破了传统的教学模式，通过解决学生身边的一些现实问题来实现学生对知识的掌握，大大提高了学生学习的积极性和主动性。通过项目式教学法学习的学生，他们的动手能力、解决实际问题的能力有很大的提高。

参考文献

[1] 宋朝霞，俞启定.基于翻转课堂的项目式教学模式研究[J].远程教育杂志，2014,32(01):96-104.

[2] 郑宗剑,刘浏,张斌儒.数学建模和数学实验融入高等数学教学改革初探[J].四川文理学院学报,2012,22(02):146-149.

[3] 郭岚,路海萍.论项目教学法在高职数学建模教学中的应用[J].南昌高专学报,2010,25(05):125-126+137.