§4.3 能力范式下的探究式教学

唐晓伟

能力范式下的高等教育要培养学生的创新精神、创新意识与创新能力，使学生自由成长，促进每个学生全面发展，培养创新人才，促进社会进步。探究式教学是能较好实现此目标的教学形式之一。

20世纪初，美国著名教育学家杜威 (John Dewey) 提出了“教学五步”探究教学理论，至此学者们开始了对探究式教学的系统研究。1961年，美国教育学家施瓦布（Joseph J. Schwab）在哈佛大学做了“作为探究的科学教学”（The Teaching of Science as Enquiry）的报告，提出了“探究性教学”的概念。今天，我们所研究的“探究性教学”在大意义上说都是从这里开始的^[1]。施瓦布积极倡导科学探究的教学和学习范式，推动美国初等教育、中等教育和高等教育中以“科学探究”为核心的课程改革，最终促成了探究教学在美国教育教学中话语主导权地位的确立，也深刻影响了其它国家近年来学校科学教育的变革和发展^[2]。

3.1能力范式下的探究式教学的基本内涵

施瓦布科学探究教学的主要内涵是：探究性教学中包含两种探究。一是对科学和知识本身的探究，科学被作是探究过程的指导，“科学即探究”；二是教与学这个过程中的教学方法、方式上的探究，教与学的过程本身是一种探究，“探究性教与学”。这两层含义是完整形式科学探究思想的组成部分^[3]。能力范式下的探究式教学是在毕业要求的指导下开展探究的教学形式，主要是指教师和学生以课堂为主要载体，平等、自由地共同合作探究，从而使学生掌握学科的基础知识、基本理论与基本方法，了解学科的历史，具有一定的创新意识、研究意识，具有终身学习与发展意识，养成自主的学习习惯，能够适应时代的发展。

能力范式下的探究式教学中，学生是主动、积极的探索者，是课堂学习的主要参与者，在整个学习过程中起主体作用；教师是具有反思能力的指导者，是课堂教学活动的主要组织者，在整个学习过程中起主导作用；能力范式下的探究式教学是探究科学本质的多样性，不把单一结论传授给学生；整个教学过程是结合知识产生的情境来理解科学知识。

能力范式下的探究式教学，教师的讲授为探究性讲授。在授课过程中，以学生为中心，学生是学习的主体并参与到教学过程中，教师对学生进行指导与启发，使学生形成自己的对问题的见解。授课过程中要求教师从问题出发，不仅要展示出问题的答案，而且答案展示的过程是循序渐进，循循善诱的，此时的课堂与课本只是一种载体。通过课堂教授，教师采用富有启发性的引导，激发学生对问题进行更加深入的思考。

能力范式下的探究式教学要发展学生阅读和自学的能力。施瓦布指出：“我们需要更进一步。当学生不再是学生，假如他与变化的科学保持一致，他必须从学校和学校教育需要中得到最大可能的自由。”这种“自由”需要发展学生阅读和自学的能力与习惯。能够主动学习新知识，掌握新技能，养成自主学习的习惯也是能力范式下探究式教学要达到的目的^[2]。

3.2能力范式下探究式教学的一般步骤

能力范式下的探究式教学更加注重对学生创新思维和创新意识的培养，其一般步骤为：

1. 从培养方案出发，找出课程与毕业要求指标点之间的对应关系。根据该对应关系制定课程目标。课程目标对毕业要求指标点的支撑应和课程性质相符合。

2. 根据教学大纲中课程内容与课程目标之间的对应关系，确定教学目标，教学重点与教学难点，确定教学方法和课堂组织形式。

3. 教学过程。

能力范式下的探究式教学中，以下几个环节是较为重要的。

1. 确定学习对象（知识点），创设情境

能力范式下的探究式教学是围绕课程中的某个知识点展开。与基于问题式学习不同的是，这个知识点并非选自社会生活中的现实问题，也不是由学生自由选择而产生的，而是由教师根据教学目标的要求和教学的进度来确定。知识点或者说是教学对象一旦确定，教师就要根据教学对象的性质，通过问题、任务等多种形式，使用适宜的教学手段来创设与此学习对象相关的学习情境，引导学生进入目标知识点的学习。学习情境包括在探究教学中由外界事物、师生等因素构成的具体课堂环境，也包括当时所处的社会环境，表现为多重刺激模式、事件和对象，是师生从事学科探究教学活动，产生学科探究行为的一种环境背景^[3]。

1. 提出问题，启发思考

合理的问题在能力范式下的探究式教学中尤为重要。学习对象确定后，为了使探究式教学切实取得成效，需要在探究之前向学生提供若干富有启发性、能引起学生深入思考、并与当前学习对象密切相关的问题，以便学生带着问题去探究。这一环节至关重要，所提出的问题是否具有启发性、是否能引起学生的深入思考，是探究性学习是否能取得效果乃至成败的关键。这类问题要由教师提出。在教学过程中以问题为线索，让学生根据有关资料和自己的学习经验，积极主动地寻求答案，发现新问题并解决问题，有效实现教学效果。从而，能力范式下的探究式教学要关注教师与学生各自的知识和能力，允许教师根据学习对象、自己的理解以及学生的实际情况对问题做出合理的改变。

1. 运用引导性讨论，注重学生的自主学习和自主探究

能力范式下的探究式教学中要合理运用引导性讨论。引导性讨论是指在学习过程中，教学引导学生进行能够促进学生发展，使学生当前问题得以解决的讨论等言语活动行为。引导性讨论能让学生成为与教师“平等对话”的主人，发扬学生的个性，使学生的主动性、能动性和独立性不断得到发展，形成勇于解决问题、积极进取的态度，发展学生的创造意识和自由个性，使学生与教师成为合作性的探究者。

能力范式下的探究式教学特别强调学习过程中学生的自主学习和自主探究，以及在此基础上实施的小组合作学习活动。教学目标主要靠学生个人的自主探究和学习小组的合作学习活动来完成。在讨论和探究的过程中，将学习对象或者学科知识变成教师和学生合作探究的对象，在探究中产生自己的学科思想和对学习对象的理解。

1. 总结提高，发展学生的创造个性，培养学生的学科道德感和社会责任感

教师引导学生对问题进行回答与总结，对学习成果进行分析归纳，并可联系实际，对当前知识点进行深化、迁移与提高。教师应充分尊重每一个学生的独立个性，在探究与总结的过程中，发展学生的探究能力，形成学生自己对学科知识的理解和思考，发展学生职业规划所需要的学科素养；发展学生运用所学学科知识解决实际问题的意识和能力。通过解决实际问题构建知识的意义，培养学生的创造意识，学科创造性与好奇心，学科道德感和社会责任感。

4. 教学评价。

教学评价是能力范式下探究式教学的重要组成部分。合理的教学评价能够及时查找教学过程中存在的不足，总结经验，促进教学效果的提高。教学评价亦影响着课程目标、教学内容的制定以及教学过程的组织与实施。

能力范式下的探究式教学评价倡导过程性和多元化评价方式。因为探究式教学尊重教师和学生学科思想和体验的获得过程，强调学习过程的连续性和生长性。过程性评价的方式亦不是单一的考试形式，因为探究式教学尊重学生的个性发展，从而评价的方式也应当是多元化的。需要重建课程终结考核（期末考核）的意义。期末考核的分数对不同学生的意义是不同的，需要认真分析分数背后的意义以及产生的原因，不能只就分数进行单纯的比较；再次，期末考核的成绩只能作为课程成绩的一部分，而不能作为衡量学生学习结果的唯一依据。

3.3教学案例(《数学分析II》课程)

Ø 课程目标

根据188bet 初回入金ボーナス数学与应用数学专业人才培养方案（2020级），数学分析II课程的课程支撑毕业要求的关系表（表1）和相应的毕业要求指标点（表2）如下：

表1  课程目标支撑毕业要求关系表

 表2  课程目标与毕业要求指标点的对应关系

根据课程目标与毕业要求指标点的对应关系，制定如下的课程目标：

1.了解数学分析的发展历史，掌握数学分析的基本概念，学会用发展的观点分析问题。

2. 掌握数学分析的基本方法，具备严谨的数学语言表达能力、逻辑思维能力、数学运算能力与数学写作能力，养成认真、求实、勤奋踏实的教学科研精神。

3. 掌握数学分析的基本理论，培养抽象思维能力、逻辑推理能力和空间想象能力，养成独立学习的习惯，为学习后继课程打下坚实的基础。

4. 培养综合运用数学分析知识分析和解决实际问题的能力，体会数学的简洁性与深刻性，提高数学思维能力和科学素养，具备初步的科学研究意识。

Ø 课程目标与教学内容之间的对应关系（以反常积分为例）

以反常积分为例，教学目标与教学内容之间的对应关系如下（表3）：

表3  课程目标与教学内容之间的对应关系

Ø 反常积分教学设计（10课时）

（一）教学目标

1.了解反常积分的历史背景，掌握反常积分的概念；

2. 熟练应用定积分的计算方法计算反常积分；

3. 会判定反常积分的敛散性。

（二）教学重点、难点以及解决措施

教学重点：反常积分的计算与敛散性的判别；

教学难点：反常积分敛散性的判别。

解决措施：问题探究，类比联想。

（三）教学方法

问题探究法

（四）教学思政

1.马克思主义的实践观；

2.本质与现象；

3.共性与个性。

（五）教学过程

1. 问题探究，引入概念（30分钟）

• 给出定积分的定义及表示方法， 引导学生分析定积分定义中的两个重要

条件：被积函数在积分区间上的有界性以及积分区间是闭区间这两个条件。

【设计意图】定积分被积函数的有界性和积分区间是闭区间这两个条件是定积分概念的前提。那么，当这两个条件不成立时，是否还有这样的实际问题呢？给出如下的两个问题，引导学生思考。

问题1 （第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火箭，要使火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度v₀至少要多大？【积分区间是无穷区间】

问题2   圆柱形桶的内壁高为h，内半径为R，桶底有一半径为r的小孔，试问从盛满水开始

打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间？【被积函数在给定区间是无界的】

【设计意图】学生通过对上述两个问题的探究发现，实际问题的确会出现被积函数是无界函数，积分区间是无穷区间的情形。那么，这样的问题应该用怎样的数学语言描述呢？相对于以前所讲的定积分（不妨称之为为正常积分）而言，问题1和问题2分别提出了两类反常积分，引导学生给出反常积分的概念。

【课程思政】马克思主义的实践观。任何数学概念都是基于现实问题产生的。数学是表现现实世界的手段和方法。实践是认识的来源，是认识发展的根本动力，是检验认识正确与否的唯一标准。实践与认识是辩证统一的关系，实践决定认识，认识对实践有巨大的反作用。正确的科学的认识促进实践的发展，错误的认识阻碍实践的发展。认识要随着实践的发展而不断进步。

2. 反常积分的概念（60分钟）

问题3 定义无穷区间上的积分需要哪些要素？

【设计意图】引导学生思考，从而给出无穷区间上反常积分的定义。

定义1  设函数f定义在无穷区间[a，+∞)上，且在任何有限区间[a，u]上可积。【条件存在的意义，体会数学的严谨性】如果存在极限

                        （1）

则称此极限J为函数f在[a，+∞)上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作

J=，                                （1′）

并称收敛。如果极限（1）不存在，为方便起见，亦称发散。

问题4 f在(－∞，b]上的无穷积分，f在（－∞，+∞）上的无穷积分如何定义？

【设计意图】类比思维，举一反三，引导学生探究其他类型无穷积分的定义。

类似地，【类比思维，举一反三】可定义f在(－∞，b]上的无穷积分：

                   （2）

对于f在（－∞，+∞）上的无穷积分，可用前面两种无穷积分来定义：

，             （3）

其中a为任一实数，当且仅且当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的。

注1 无穷积分（3）的收敛性与收敛时的值，都和实数a的选取无关。

注2 由于无穷积分（3）是由（1）、（2）两类无穷积分来定义的，因此，f在任何有限区间[v,u]（－∞,+∞）上，首先必须是可积的。

问题5 对比定积分的几何意义，非负连续函数在[a，+∞)的无穷积分的几何意义是什么？

收敛的几何意义是：若在上为非负连续函数，则介于曲线

，直线以及轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积．  

【设计意图】从定积分的几何意义出发，引导学生探究无穷积分的几何意义。

问题6 无穷积分本质上是什么？

【设计意图】从无穷积分的定义出发，引导学生探究无穷积分的本质。无穷积分实际上就是一种函数极限，只是该函数是由变限积分函数定义的。从而，无穷积分的性质应该和函数极限的性质是类似的；而无穷积分本身又是一种积分，从而定积分的性质在无穷积分上也应该有体现。为学习无穷积分的性质和判定打下基础。

【课程思政】数学语言的严谨性和简洁之美，体会数学是解决现实问题的工具。

问题7 如何定义无界函数的反常积分？

【设计意图】类比无穷积分的概念，引导学生自己给出瑕积分的概念。

定义2（瑕积分的概念）

【注意瑕点是什么。】

问题8 若瑕点是区间右端点或者是区间内的点，该如何定义瑕积分？

【设计意图】类比联想，引导学生探究不同的瑕点处的瑕积分的定义形式。

瑕点为时的瑕积分的定义；

若的瑕点，瑕积分的定义；

   又若、两点都是的瑕点，而在任何上可积，瑕积分的定义；

3.反常积分的计算（45分钟）

问题9 反常积分的计算。

给出例题：

；  ； ； ；

【设计意图】学生自主解答，并分组总结在计算过程中应注意的问题。引导学生思考反常积分的计算过程中定积分和极限计算的重要性。

问题10  是否所有的反常积分都可以利用定义计算？

【设计意图】引导学生探索用反常积分的定义计算反常积分的步骤是什么，从而思考用定义计算反常积分的重点步骤是什么，解答问题10，引出反常积分敛散性的判别。

4.反常积分敛散性的判别（270分钟）

问题11  定积分的线性性质，积分区间可加性是什么？函数极限的柯西准则是什么？

【设计意图】通过复习定积分的性质，学生自己探究归纳出反常积分的性质；通过对反常积分本质的理解，对照函数极限的柯西准则，学生自己探究反常积分的柯西准则。(例如，无穷积分收敛与否，取决于函数在时是否存在极限．因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则．)

(i) 反常积分的简单性质

定理11.1 （反常积分收敛的柯西准则）

性质1  （反常积分的线性性质）

  性质2 （反常积分的积分区间可加性）

性质3 （绝对可积性）

注：绝对收敛与条件收敛。

问题12 如果用反常积分的定义不能判定其敛散性，还有没有别的方法？

【设计意图】通过对无穷积分定义的分析，引导学生寻求新的判定无穷积分敛散性的方法。

(ii) 无穷积分敛散性的判别

【课程思政】 本质与现象。本质与现象是揭示事物内部联系和外部表现相互关系的一对辩证法的基本范畴。本质是事物的内部联系，是决定事物性质和发展趋向的东西。现象是事物的外部联系，是本质在各方面的外部表现。本质和现象是对立统一关系。

问题13 对比无穷积分敛散性的判别方法，瑕积分的敛散性该如何判定呢？

【设计意图】学习完无穷积分的敛散性判别后，学生自己总结分析，给出瑕积分敛散性的判别。需注意瑕积分和无穷积分的不同之处。

（iii）瑕积分敛散性的判别

【课程思政】特殊与一般。共性与个性。

5.总结（20分钟）

问题14 引入反常积分的意义是什么，反常积分的判别法中蕴含了什么思想？

【设计意图】更高观点的分析总结反常积分的来龙去脉，完善知识结构。

6.习题解答（25分钟）

【根据作业批改情况，讲解习题】

（六）教学反思

1. 以能力范式为引导，从毕业要求出发，制定出课程目标，分解出教学目标和教学重难点，强调工作导向、问题探究式的理论教学与实践教学相互交融的一体化教学；

2. 改革教学方法，把能力培养作为组织实施教学的目标和主线，而不是单纯地把教师对知识的传授、学生对知识的理解和掌握当成目的；

3. 重视知识框架的建立与重构；从不定积分，到定积分，再到反常积分，一步一步逐步深入；

4. 重视课堂思政，努力实现以能力培养为主线的学生培养，在实践层面为学生的教师教育能力培养提供路径。

（七）补充说明

上述以反常积分为例，给出了能力范式下的探究式教学的一般步骤。数学分析II课程的大部分知识点的学习，均采用能力范式下的探究式教学方式。经多个轮次的教学，该教学形式的教学效果已得到较好的验证。

• 能力范式下探究式教学的课程评价

（一）课程考核方式

单一的通过试卷进行考查，以不能满足课程目标的需求；同时，探究式教学注重发展学生的个性，能力范式下的课程考核形式呈现多样化（表4），逐渐将考查重点转为考查学生运用所学知识解决实际问题的实践与创新能力。

表4课程过程性考核形式变化一览表（数学分析II课程）

根据课程过程性考核评价方法，采用班级抽样，计平均分的统计方法，选择数学与应用数学专业2018级、2019级、2020级（授课教师保持一致）各一个班级，近三年来的过程性考核成绩如下（表2 近三年课程考核评价成绩）：

表5 近三年课程考核评价成绩（数学分析II课程）

图1  2018级数学分析II课程过程性考核评价各分数段人数分布

图2  2019级数学分析II课程过程性考核评价各分数段人数分布

图3  2020级数学分析II课程过程性考核评价各分数段人数分布

（二） 课程目标达成度

根据课程教学大纲，计算出课程目标达成度（数学分析I和数学分析II，这两门课程的学分一致，且有较好的可对比性）如下（表6 各年级数学分析I--II课程目标达成度）：

表6各年级数学分析I--II课程目标达成度

从表6中，我们可以看出，各个年级相应课程的课程目标达成度均超过了0.7，符合培养方案的要求。能力范式下的探究式教学达到了预期的目标。

四、总结

本节，我们主要给出了能力范式下探究式教学的定义、内涵及一般教学步骤，

并以数学分析II课程为例，给出了在实际教学过程中如何应用探究式教学。同时，分析了以探究式教学为主要教学方式的数学分析课程目标达成度情况，教学效果良好，培养了学生分析问题和解决问题的能力。贯穿整个教学过程的课程思政也使学生树立了正确的世界观、人生观和价值观。总之，能力范式下的探究式教学值得推广。

参考文献：

[1] 钟启泉. 为了中华民族的复兴为了每位学生的发展:基础教育课程改革纲要(试行)解读[M]. 华东师范大学出版社, 2001.

[2] 韦冬余. 科学本质与科学教学[M].南京大学出版社，2016.